Integrales

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del poder popular para la educación

                                         Instituto Universtario Politécnico

“José Antonio Anzoátegui”

El Tigre-Edo. Anzoátegui

Integrales

Asignatura

Matemática  Aplicada                                                                                                         

                                       Integrantes:                                                 

Argeta Maria.       C.I.: 19.437.871  

Arvelaez Luís.       C.I.: 18.229.020  

Blackman Julián.  C.I.: 16.250.680 

Fuentes Inder.       C.I.: 15.596.455

     Jesus Velásquez     C.I.: 16.573.626  

                                                                                                          Tamoy Digregor.   C.I.: 15.128.139                                                                                         

                                                                                         MM01

Fecha-Julio 2011

Introducción

      Muchas veces llegamos a desconocer el valor esencial de las  matemáticas en este caso de sus diferentes propiedades y cuando llegamos a la universidad la rechazamos mas por el simple hecho de pensar que quizás no sea nada útil para nuestra formación laboral, entonces es donde comienza el gran debate cual es el papel que está en si representa en nuestra vida, pero no nos detenemos un momento a pensar que muchas de las cosas o actividades de nuestra cotidianidad implican una utilidad matemática que va desde la simple compra de un producto en un establecimiento, hasta la construcción de una edificación. Cabe que las aplicaciones matemáticas entre estas las integrales son de suma importancia en el campo matemático ya que permiten el cálculo y el análisis matemático para los campos de la ingeniería, la matemática general, la física entre otras, ya que la mayoría de las veces se utilizan para determinar los volúmenes de aéreas o sólidos. Pensándose claramente  que el trabajo o cálculos de integrales ya sea según si tipo si llega a tener de manera un lugar esencial en nuestras vidas.

         En la investigación se encontrara de manera detallada pero muy clara y precisa cada una de las aplicaciones integrales con sus conceptos y posibles ejemplos para que sean de fácil interpretación.

Integrales

         Una integral es el espacio en un gráfico de una ecuación (a veces se dice que "el área bajo la curva "). Una integral es el reverso de un derivado. Un derivado es la pendiente (o "pendiente"), ya que la tasa de cambio, de una curva. La palabra "integral" también puede ser usada como un adjetivo que significa "relacionado con números enteros".

     El símbolo de la integración, en el cálculo, es: como una carta de altura "S". Este símbolo fue utilizado por primera vez por Gottfried Wilhelm Leibniz , que lo utilizó como una estilizada "S" (de summa , América para la suma ) en el sentido de la suma de la superficie cubierta por una ecuación , como y = f (x) .

   Integrales y derivadas son parte de una rama de las matemáticas llamada cálculo. El vínculo entre estos dos es muy importante, y se llama el teorema fundamental del cálculo.

    Las integrales forman parte de una rama de la matemática llamada "Calculo Integral". básicamente, una integral es lo contrario de una derivada. La derivada se estudia en otra rama de la matemática llamada "Calculo diferencial". 

Dada una función  f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral

    Es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.

     La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas,

Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.

      Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integración [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional.

     Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como integral de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue

Las integrales pueden ser:

                                         

Las integrales simples

  Es aquella que posee el dominio de la funcion a integrar, es decir presenta una sola variable

1. Si f(x) es integrable en [a, b] entonces esta acotada en [a, b].

2. Si f(x) es continua en [a, b] entonces es integrable en [a, b].

Las integrales dobles

    Tiene diversas aplicaciones tanto mecánicas como geométricas, pero su significado intrínseco es el volumen, así como el significado de una integral de una función variable real del área.

  

       Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las aplicaciones geométricas y físicas. En  este grupo se calculan el área de una figura plana y el cálculo de los volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas entran están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas, centros de masa y momentos de inercia para una región bidimensional.

Ejemplo de la aplicación de integral doble para calcular el volumen.

      El teorema de Fubini demuestra que estas integrales pueden reescribirse como una integral iterada. En otras palabras, la integral se puede calcular a base de integrar las coordenadas una por una.

     De la misma manera que la integral definida de una función positiva representa el área de la región encerrada entre la gráfica de la función y el eje x, la integral doble de una función positiva de dos variables representa el volumen de la región comprendida entre la superficie definida por la función y el plano que contiene su dominio. (El mismo volumen puede obtenerse a través de una integral triple — la integral de la función de tres variables — de la función constante f(x, y, z) = 1 sobre la región mencionada antes entre la superficie y el plano, lo mismo se puede hacer con una integral doble para calcular una superficie.) Si el número de variables es mayor, entonces la integral representa un hipervolumen  el volumen de un sólido de más de tres dimensiones que no se puede representar gráficamente.

Por ejemplo, el volumen del paralelepípedo de caras 4 × 6 × 5 se puede obtener de dos maneras:

§  Con la integral doble

de la función f(x, y) = 5 calculada en la región D del plano xy que es la base del paralelepípedo.

    Las integrales dobles de funciones continuas tienen propiedades algebraicas que son útiles en los cálculos y en las aplicaciones.

 Propiedades de las integrales dobles :

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Esta propiedad es válida cuando R es la unión de dos rectángulos R1 y R2 que no se traslapan.

Integrales dobles para calcular volúmenes .

     Cuando f(x ,y) es positiva podemos interpretar la integral doble de f sobre una región rectangular R como el volumen del prisma sólido limitado abajo por R y arriba por la superficie z = F(x, y). Cada termino f (xk, yk) ∆Ak en la suma Sn = ∆Ak es el volumen de un prisma rectangular vertical que aproxima el volumen de la porción del sólido que está directamente arriba de la base ∆Ak. La suma Sn aproxima entonces a lo que llamamos volumen total del sólido. Definido este volumen como:

Teorema de Fubini para integrales dobles.

      Suponga que queremos calcular el volumen bajo el plano z=4-x-y sobre la región rectangular

 en el plano xy. Entonces el volumen es

Donde A(x) es el área de la sección transversal en x. Para cada valor de x podemos calcular A(x) como la integral

     Que es el área bajo la curva z=4-x-y en el plano de la sección transversal en x. Al calcular A(x), x se mantiene fija y la integración se efectúa respecto a y. Al combinar (4) y (5), vemos que el volumen de todo es sólido es

 

    Si quisiéramos escribir sólo las instrucciones para calcular el volumen, sin llevar a cabo ninguno de las integraciones, podríamos escribir

 

Integrales Triples.

   Se utilizan generalmente para hallar los volúmenes de formas tridimensionales, la masa y los momentos de sólidos y los valores promedio de funciones de tres variables.

         Si F(x, y, z) es una función definida sobre una región D cerrada en el espacio, por ejemplo, la región ocupada por una bola sólida o una masa de arcilla, entonces la integral de F sobre D puede definirse de la siguiente manera. Subdividimos una región rectangular que contenga a D en celdas rectangulares por planos paralelos a los planos coordenados. Las celdas que se encuentran dentro de D de 1 a n en cierto orden; una celda típica tendrán entonces dimensiones ∆xk por ∆yk por ∆zk y volumen ∆x∆xk. Escogemos un punto (xk, yk, zk) en cada celda y formamos la suma

Si F es continua y la superficie que limita a D está hecha de superficies suaves unidas a lo largo de curvas continúas, entonces cuando ∆xk, ∆yk, ∆zk tienden a cero independientemente, las sumas Sn tenderán a un límite

Llamamos a este límite integral triple de F sobre D. El límite también existe par algunas funciones discontinuas.

Propiedades de las integrales triples .

      Las integrales triples tienen las mismas propiedades algebraicas que las integrales simples y dobles. SiF=F(x, y, z) y G=G(x, y, z) son continuas, entonces

1. 

2.    

3.    

4.    

Si el dominio D de una función continua F se subdivide por medio de superficies suaves en números finito de celda sin traslapes D1, D2,…..Dn, entonces

5.   

Integrales por parte.

       Este método permite resolver un gran número de integrales no inmediatas.

1. Sean u y v dos funciones dependientes de la variable x; es decir, u = f(x),

v = g(x).

2. La fórmula de la derivada de un producto de dos funciones, aplicada a                                              f(x) · g(x), permite escribir,

d(f(x) · g(x)) = g(x) · f'(x)dx + f(x) · g'(x)dx

3. Integrando los dos miembros,

      Ésta no es la fórmula usual de la integración por partes. Puesto que

       u = f(x), du = f'(x)dx, y al ser v = g(x), dv = g'(x)dx. Llevando estos resultados a la igualdad anterior.

Resolución de integrales por partes.

       Este método consiste en identificar u con una parte de la integral y dv con el resto, con la pretensión de que al aplicar la fórmula obtenida, la integral del segundo miembro sea más sencilla de obtener que la primera. No hay, y éste es el mayor problema de este procedimiento, una regla fija para hacer las identificaciones más convenientes. La resolución de un buen número de problemas es el mejor camino para adquirir la técnica necesaria.

No obstante, se suelen identificar con u las funciones de la forma xm si m es positivo; si m es negativo, es preferible identificar con dv a xmdx. También suelen identificarse con u las funciones ln x, arc senx, arc tg x y con dv, exdx, sen x dx, cos x dx, etc.

Antes de empezar a practicar este método se ha de tener presente que al hacer la identificación de dv, ésta debe contener siempre a dx.

Reglas de la cadena.

          Es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser computado como el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

En  términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si  es diferenciable en  y  es una función diferenciable en, entonces la función compuesta  es diferenciable en  y

Ejemplo de la aplicación de la regla

Sea:

Esto es entonces

Aplicando la definición de derivada se tiene

Donde queda

Equivalentemente, multiplicando y dividiendo entre 

Otro ejemplo de esta regla seria.

Tenemos  la cual se puede definir como función compuesta. Si desglosamos la función compuesta quedaría:

, cuyas derivadas serían:

Con la regla de la cadena, esto sería:

Los cuales corresponden a las derivadas anteriormente extraídas.

 Se reemplazan las letras b y c por sus valores NO derivados, no confundir.

 Y luego se obtiene la derivada.

Conclusión

    Tras el estudio de las nombradas de las llamadas integrales matemáticas, podemos concluir en que son muy importantes tanto para el cálculo matemático  como para muchas otras ciencias, en especial la física y la química, ya que  los diferentes usos o aplicaciones de las integrales  en la vida diaria va desde la construcción de una obra o edificación hasta la determinación de un volumen de un objeto, superficie entre otras y nos deja  un modelo que podemos aplicar frente a cierta problemática. Ya que descubrimos su aplicación en campos donde se pensaba que era inútil o de poca  aplicación  y que ofrece por medios de cálculos resultados precisos de situaciones o respuestas a diferentes fenómenos que quizás son desconocidos para la humanidad y que la mayoría de las ciencias incorporan para su aplicación en sus investigaciones.